TIOJ 1597

變動的過路費

https://tioj.ck.tp.edu.tw/problems/1597

Description

給你一張有向圖,每個邊會有隨時間變動的權重,並且邊的權重對時間是一個線性函數。
再給你兩個點 $A,B$,現在你想要從 $A$ 走到 $B$ 再走回 $A$,
問你在時間 $[0, D-1]$ 中,最長的最短路徑和最短的最短路徑相差多少。

保證在時間內的邊權都是非負整數,並且答案不會超過long long。

Solution

這題很久以前就跟蕭梓宏討論過了,不過我怎麼寫都會吃WA 0分
今天#define int ll結果就拿了67分XD仔細檢查才發現原來一條邊的邊權可以不在int的範圍內但我卻用了int
忘記開long long真的Orz

因為線性函數的和還是線性函數,考慮所有的「路徑」,他們都代表一條對時間的線性函數。
而某個時間點的最短路徑就是這些直線的 $\min$。也就是說,所有時間點的最短路徑是所有路徑的線性函數的下凸包(lower envelope)
把這個凸包建出來似乎不是可行的(?)所以就考慮三分搜找出最大值。至於最小值一定是在端點,所以相減就是答案了。
好像有卡一些常數QQ我還得判如果dijkstra跑到終點就return、三分搜遇到相同就break;之類的,不知道是不是TIOJ主機變慢了QQ

AC code

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#pragma GCC optmize("Ofast")
#include <bits/stdc++.h>
#ifdef local
#define safe cerr<<__PRETTY_FUNCTION__<<" line "<<__LINE__<<" safe\n"
#define debug(args...) qqbx(#args, args)
template <typename ...T> void qqbx(const char *s, T ...args) {
    int cnt = sizeof...(T);
    ((std::cerr << "(" << s << ") = (") , ... , (std::cerr << args << (--cnt ? ", " : ")\n")));
}
#else
#define safe ((void)0)
#define debug(...) ((void)0)
#endif // local
#define pb emplace_back
#define all(v) begin(v),end(v)

using namespace std;
template <typename T> using min_heap = priority_queue<T, vector<T>, greater<T>>;
using ll = long long;
using ld = double;

struct Dijkstra {
    vector<vector<tuple<ll,ll,int>>> g;
    vector<ll> dis;
    vector<bool> vis;
    Dijkstra(size_t n) : g(n), dis(n), vis(n) {}
    void addEdge(int a, int b, ll c, ll p) {
        g[a].pb(c, p, b);
    }
    ll shortestPath(int s, int t, int T) {
        fill(all(dis), -1);
        fill(all(vis), false);
        min_heap<pair<ll,int>> pq;
        pq.push({0, s});
        dis[s] = 0;
        while(!pq.empty()) {
            auto [d, i] = pq.top(); pq.pop();
            if(vis[i]) continue;
            vis[i] = true;
            if(i == t) return d;
            for(auto [c, p, j]: g[i]) {
                if(vis[j]) continue;
                ll w = c + p * T;
                if(dis[j] == -1 || dis[j] > d + w) {
                    dis[j] = d+w;
                    pq.push({dis[j], j});
                }
            }
        }
        // assert(dis[t] != -1);
        return dis[t];
    }
};
signed main() {
    ios_base::sync_with_stdio(0), cin.tie(0);
    int n, m, A, B, D;
    cin >> n >> m >> A >> B >> D;
    Dijkstra dij(n);
    // -> : i * 2
    // <- : i*2+1
    for(int i = 0; i < m; i++) {
        int x, y;
        ll c1, p1, c2, p2;
        cin >> x >> y >> c1 >> p1 >> c2 >> p2;
        dij.addEdge(x, y, c1, p1);
        dij.addEdge(y, x, c2, p2);
    }
    auto calc = [&](int T) -> ll {
        return dij.shortestPath(A, B, T) + dij.shortestPath(B, A, T);
    };
    ll ans = 0;
    for(int s = 1 << 29; s; s>>=1) {
        debug(ans, s);
        if(ans + s >= D) continue;
        ll c1 = calc(ans + s - 1);
        ll c2 = calc(ans + s);
        if(c1 <= c2)
            ans += s;
        if(c1 == c2) break;
    }
    cout << calc(ans) - min(calc(0), calc(D-1)) << '\n';
}

XD

突然發現最近發好幾題凸包的解
我真的很喜歡凸包耶(X
然後一年又過去了,時間真的好快
前幾天去TPMSO還有dreamoon的課程,反而讓我的迷惘感更多了XD
每個學長都超級厲害
尤其是陳柏叡學長,他雖然外表超年輕但是超級成熟的感覺
現在應該做的事,大概就是在寒假左右把專題弄一個段落,然後把選訓好好走完吧。
也許今年還是有機會國手,但是我認真覺得不可能贏balbit跟ZCK,他們實在太強了
而且我因為專題被催根本沒辦法好好練習QQ
不過我的目標也不是贏過他們,希望至少有機會明年拿個更好的牌,為此我得先做完專題給自己一個好的練習環境(

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