TIOJ-1764

Ch2. Section 9. 補魔力的條件

https://tioj.ck.tp.edu.tw/problems/1764

Description

  • 現在有排成一直線的$N$個格子,從左到右編號為$1 \dots N$,每個格子都有自己的高度
  • 一開始你站在第一格,每次移動都只能往編號大的格子跳,目標是走到第$N$格
  • 假設第$i$個格子的高度是$x_i$,從格子$i$跳到格子$j$需要耗費$\max(0, (j-i)+(x_j-x_i))$的力氣
    請問在花最少力氣到達終點的前提下,他最多可以跳幾次?

Solution

先考慮最小化力氣
令$x_i+i = v_i$,簡單的列出DP式

$$
dp[i] = \min _ {j < i}(dp[j] + \max(0,v_j-v_i))
$$

這樣的複雜度是$\mathcal{O}(N^2)$
不過可以分case討論

$$
dp[i] = \min(
\min _ {j < i \wedge v_j \geq v_i}(dp[j]+v_j)-v_i,
\min _ {j < i \wedge v_j < v_i}(dp[j])
)
$$

就可以用資料結構$\mathcal{O}(N \log N)$維護了
那麼最多可以跳的次數也可以一邊維護
也就是說如果力氣不同就選力氣小的,力氣相同則選跳的次數多的,可以直接用pair做就好
這邊寫的是值域壓縮之後用BIT維護前後綴min OAO

AC code

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#pragma GCC optimize("Ofast")
#pragma loop_opt(on)
#include <bits/stdc++.h>
#define ff first
#define ss second

using namespace std;
typedef int64_t ll;
constexpr ll N = 300025, INF = 1e18;

struct BIT {
    pair<ll,int> mn[N];
    int n;
    void init(int _n) {
        n = _n;
        for(int i = 1; i <= n; i++) mn[i] = {INF, 0};
    }
    void edit(int p, pair<ll,int> d) {
        for(; p <= n; p += p&-p) mn[p] = min(mn[p], d);
    }
    pair<ll,int> query(int p) {
        pair<ll,int> res = {INF, 0};
        for(; p > 0; p -= p&-p) res = min(res, mn[p]);
        return res;
    }
} pre, suf;
signed main() {
    ios_base::sync_with_stdio(0), cin.tie(0);
    // dp[i] = min{dp[j] + max(v[i] - v[j], 0)};
    // dp[i] = min{v[i] + dp[j]-v[j] | v[i] >= v[j]}, min{dp[j] | v[i] < v[j]}
    // dp[1] = {0, 0}
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    vector<int> h(n);
    for(int &x: h) cin >> x;
    vector<int> u = h;
    sort(u.begin(), u.end()), u.erase(unique(u.begin(), u.end()), u.end());
    for(int &x: h) x = lower_bound(u.begin(), u.end(), x) - u.begin() + 1;
    pre.init(u.size());
    suf.init(u.size());
    pre.edit(h[0], {-h[0], 0});
    suf.edit(u.size()+1-h[0], {0, 0});
    pair<ll,int> dp;
    for(int i = 1; i < n; i++) {
        pair<ll,int> a = pre.query(h[i]), b = suf.query(u.size()-h[i]);
        a.ff += h[i];
        dp = min(a,b);
        dp.ss -= 1;
        suf.edit(u.size()+1-h[i], dp);
        dp.ff -= h[i];
        pre.edit(h[i], dp);
    }
    cout << min(m, -dp.ss) << '\n';
}
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