TIOJ-1567

黑色騎士團的飛彈野望

https://tioj.ck.tp.edu.tw/problems/1567

Description

給定平面上$n$個點,求至少要用幾個圓心在$x$軸上、半徑為$r$的圓才能覆蓋所有點
若不可行輸出-1

Solution

首先我們對每個點都可以知道包覆它的圓的圓心範圍在$x$軸的哪段區間
那題目就轉換成在$x$軸上放一些圓心,使得每個點對應的區間內都至少有一個點被選到
此為greedy經典題,按照右界排序後,由小到大檢查若某個區間還沒有放東西就放一個在它的右界

證明很簡單,右界最小的區間內一定至少要選一個點放
假設沒有選右界$r$而選了某個點$i$放,則改選右界,不會有其他右界更大的區間$I$包含$i$卻不包含$r$
故選右界最小的區間的右界不會錯過最佳解

無解的判斷就是只要有一個點和$x$軸距離超過$r$就不可行,否則顯然至多用$n$個圓可以覆蓋所有點

AC code

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// An AC a day keeps the doctor away.

#pragma g++ optimize("Ofast")
#pragma loop_opt(on)
#include <bits/extc++.h>
#ifdef local
#define debug(x) (cerr<<#x<<" = "<<(x)<<'\n')
#else
#include <bits/stdc++.h>
#define debug(x) ((void)0)
#endif // local
#define all(v) begin(v),end(v)
#define siz(v) (ll(v.size()))
#define get_pos(v,x) (lower_bound(all(v),x)-begin(v))
#define sort_uni(v) sort(begin(v),end(v)),v.erase(unique(begin(v),end(v)),end(v))
#define pb emplace_back
#define ff first
#define ss second
#define mem(v,x) memset(v,x,sizeof v)

using namespace std;
using namespace __gnu_pbds;
typedef int64_t ll;
typedef long double ld;
typedef pair<ll,ll> pll;
typedef pair<ld,ld> pld;
template <typename T> using max_heap = __gnu_pbds::priority_queue<T,less<T> >;
template <typename T> using min_heap = __gnu_pbds::priority_queue<T,greater<T> >;
template <typename T> using rbt = tree<T,null_type,less<T>,rb_tree_tag,tree_order_statistics_node_update>;
constexpr ld PI = acos(-1), eps = 1e-8;
constexpr ll N = 1000025, INF = 1e18, MOD = 998244353, K = 256, inf = 1e9;
constexpr inline ll cdiv(ll x, ll m) { return x/m + (x<0 ^ m>0) && (x%m); } // ceiling divide
constexpr ll modpow(ll e,ll p,ll m=MOD) {ll r=1; for(e%=m;p;p>>=1,e=e*e%m) if(p&1) r=r*e%m; return r;}

ll n,r,x,y,ans;
pld seg[N];
signed main() {
    ios_base::sync_with_stdio(0), cin.tie(0);
    cin >> n >> r;
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> x >> y;
        if(abs(y) > r) return cout << -1 << '\n', 0;
        ld d = sqrt(r*r-y*y);
        seg[i] = {x+d, x-d}; // {r, l}
    }
    sort(seg, seg+n);
    ld last = -INF;
    for(int i = 0; i < n; i++) if(seg[i].ss > last) {
        ++ans;
        last = seg[i].ff;
    }
    cout << ans << '\n';
}
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